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% 定义说明环境样式
\newtheoremstyle{mystyle}% 说明环境样式的名称
  {1em}% 上方间距
  {1em}% 下方间距
  {\normalfont}% 说明内容的字体样式
  {}% 缩进量
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  {.}% 说明标记和说明内容之间的标点
  {1em}% 说明标记后的水平空间
  {}% 说明标记后的垂直空间
% 使用新定义的样式创建说明环境
\theoremstyle{mystyle}
\newtheorem*{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{6.2 习题}
\maketitle

\section*{6.2.1}

\textbf{自反性}

当$x \in R$时，有命题5.3.3可知$x = x$，由实数排序定义5.4.6可知$x \leq x$，
又由广义实数的排序定义6.2.3可知$x \leq x$。

当$x = +\infty$时，由广义实数的排序定义6.2.3可知$x \leq x$

当$x = -\infty$时，由广义实数的排序定义6.2.3可知$x \leq x$

\textbf{三歧性}

（1）如果$x,y \in R$，由实数的三歧性可得$x,y$满足三歧性。

（2）分情况讨论$x,y$属于广义实数系附加的两个额外元素$+\infty$和$-\infty$。

这里只讨论一种情况，其他的情况类似不做赘述。

如果$x = +\infty$，$y \in R$，由定义6.2.3可知$x \geq y$，即该种情况属于三种情况之一，
按照定义，不满足其他两种情况，所以满足三歧性。

\textbf{传递性}

（1）如果$x,y,z \in R$，由实数的传递性可得$x \leq z$。

（2）分情况讨论$x,y,z$属于广义实数系附加的两个额外元素$+\infty$和$-\infty$。

证明略

\textbf{负运算使序改变}

如果$x, y \in R$，显然成立。

分情况讨论$x,y$属于广义实数系附加的两个额外元素$+\infty$和$-\infty$。

证明略

\section*{6.2.2}

\textbf{（a）}

根据定义6.2.6 和 定义6.2.3，$sup(E) \geq x \text{且} inf(E) \leq x, x \in E$。

\textbf{（b）}

反证法。假设$sup(E) > M$。

如果$sup(E)$是实数，按照定义6.2.6可知$E$中只能包括$-\infty$和实数，
而6.2.6（c）的情形最终会归入6.2.6（a），由定义5.5.10可知，$sup(E)$是$E$的最小上界，
如果$sup(E) > M$，那么与最小上界的定义5.5.5矛盾。

如果$sup(E)=-\infty$，由定义6.2.3可知，$-\infty \leq M$。

如果$sup(E)=+\infty$，由定义6.2.3可知，$M$必须等于$+\infty$，所以$sup(E) \leq M$。

\textbf{（c）}

证明方法与(b)类似，略
\end{document}